Производной функцииназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Производная, говоря простым языком, это отношение приращения функции к минимальному приращению аргумента. Совсем тяжко, то это скорость роста функции

геометрический смысл: производная функции в точке - это тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке.

7) физический смысл: производная функции - это скорость изменения этой функции

8) производные высших порядков
Производные функции третьего и более порядков

производная от функции - первого порядка
производная от первой производной - производная второго порядка
производная от производной во\торого порядка - производная третьего порядка и.т.д
производная десятого порядка - это производная от производной девятого порядка

начиная с третьей производные называются производными высшего порядка

9) 1. Область определения

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции

5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

10) Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

11) 1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

Вычисление площадей

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [ a; b ], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
выразится с помощью интеграла: (1)

Если же f (х) ≤ 0 на [ a; b ], то − f (х) ≥ 0 на [ a; b ].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
(2)

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [ a; b ] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответств