Перпендикулярность прямой и плоскости

Математика, Алгебра, Геометрия

Прямая а, пересекающая плоскость , называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку О пересечения прямой a и плоскости .

Теорема. Если прямая а перпендикулярна двум прямым b и с, плоскости , проходящим через точку О пересечения а и , то а перпендикулярна .

Пусть дана прямая a и две прямые b и с, лежащие в плоскости : а _|_ b, a _|_ с (рис. 29), О — точка пересечения b и с. Пусть х — другая (отличная от b и с) прямая, лежащая в и проходящая через точку О. Надо доказать, что a _|_ x.

Проводом в плоскости произвольную прямую l, пересекающую прямые b и с и не проходящую через точку О. Обозначим В = l b, С = l с и X = l х. Берем на а две точки А₁ и А₂, так что OА₁ = ОА₂ (А₁ и А₂ — по разные стороны от . Рассмотрим образовавшиеся треугольники.

1. А₁ОВ = А₂ОВ как прямоугольные треугольники с ранными катетами. Значит, А₁В = А₂В.

2. А₁ОС = А₂ОС по аналогичной причине. Отсюда А₁С = А₂С.

3. А₁СВ = А₂СВ по трем сторонам. Значит, < А₁BC = < А₂BC.

4. Обратимся к треугольникам А₁BX и А₂BX. В них А₁B = А₂B, ВХ — общая, < А₁BX = < А₂BX (по первому признаку). Отсюда следует, что А₁X = А₂X. Значит, А₁XА₂ - равнобедренный, О — середина А₁А₂. Значит, ОX - медиана, а тогда и высота, равнобедренного треугольника. Следовательно, a _|_ х.

Теорема. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Дана наклонная МО с проекцией NO и MN _|_ , в частности, MN _|_ NO (рис. 63).

Дано: PQ _|_ NO (т.е. PQ _|_ а₁).

Надо доказать, что PQ _|_ МО (PQ _|_ а).

а) Через точку О проводим прямую ОТ, перпендикулярную плоскости . Тогда ОТ || MN, т.к. и MN _|_ и ОТ _|_ . Прямые ОТ и ON образуют плоскость , и PQ перпендикулярна этой плоскости, ибо PQ _|_ ON и PQ _|_ ОТ. Значит, PQ _|_ ОМ, т. е. b _|_ а, т.к. ОM — прямая из плоскости .

Аналогично доказывается и обратная теорема. Если b _|_ а и b _|_ ОТ, то b _|_ (проходящей через ОТ и ОМ), а значит, и проекции а₁, принадлежащей этой плоскости . Теорема доказана.