Основные свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен сумме их интегралов:

3. Можно разбивать пределы интегрирования:

4.

5.

6. Если поменять местами пределы интегрирования, то измениться знак определенного интеграла:

7.

1. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой.

1) Метод подстановки. Пусть функция f (x) непрерывная на отрезке [a, b], функция x = j(t) имеет непрерывную производную на , множеством значений функции x = j(t) является отрезок [a, b], и . Тогда

При вычислении определенного интеграла способом подстановки новая переменная вводится подобно вычислению неопределенного интеграла. Однако в полученном результате не нужно возвращаться к прежней переменной в отличие от неопределенного интеграла.

Метод интегрирования по частям. Пусть функции и и v имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда интегрируя обе части равенства в пределах от а до в получим

Это формула называется формулой интегрированием по частям для определенного интеграла.

Пример:

2. Матрица, виды матриц. Действия над матрицами: сложение матриц,

умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, умножение матриц.

Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из каких – либо математических объектов (элементов), в простейшем случае – из чисел. Принятое обозначение:

В общем случае числа строк m и столбцов n произвольны и определяют размер матрицы, обозначаемый (m n).

Если матрица содержит одну строку, то она называется матрицей - строкой А = (а₁₁, а₁₂, …, а_1n); аналогично определяется матрица–столбец (размеры – (1 n) и (m 1) соответственно).

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Если в квадратной матрице А поменять местами столбцы и строки, то получим новую матрицу, обозначаемую А* и называемую траспонированной (сама операция замены называется траспонированием).

Квадратная матрица, у которой все элементы (кроме, может быть, стоящих по главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол) равны нулю, называется диагональной.

Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, которые находятся над (или под) главной диагональю, равны нулю.

Такая матрица, если все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Квадратную матрицу, в которой а_ij = a_ji называют симметрической (такая матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А*).

Две матрицы А и В считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. а_mn = b_mn.