Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые, посредством замены переменной, по частям

1. Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным. Метод непосредственного интегрирования заключается в преобразовании подынтегральной функции и применении свойств неопределенного интеграла для приведения к табличным интегралам.

2. Метод подстановки заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который берется непосредственным интегрированием.

Сделаем замену переменной интегрирования х, положив x = j(t) (j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию).

3. Тогда Метод интегрирования по частям заключается в том, что подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей и , при этом входит в . В результате заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Таким образом, используется формула:

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разбиение подынтегрального выражения на и . Существуют несколько типов интегралов:

1. Подынтегральное выражение содержит многочлен относительно переменной х и функции, для которых существует табличная первообразная (например cos аx; sin аx и др.), тогда за выбирают многочлен, а за все остальные множители.

2. Подынтегральное выражение содержит многочлен относительно переменной х и функцию, для которой не существует табличных интегралов, тогда за выбирают многочлен, умноженный на , а за принимают функцию, для которой нет табличной первообразной, но можно найти дифференциал .

3. В некоторых видах интегралов за функцию можно принимать любой из множителей подынтегрального выражения, если каждый из них имеет табличную первообразную.

и =

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение 1: Приращение любой из первообразных функций F(x) + C при изменении аргумента от х=а до х=в функции f (x) называется определенным интегралом и обозначается: