Метод вариации производных постоянных 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Метод неопределенных коэффициентов

Говорят, что функция f(x) имеет специальный вид: f(x)=e^al*x (Pn(x)cos bx + Qn(x)sin bx), a,b - числа, Рn, Qm - некоторые многочлены степени м и н.

Пусть ЛНДУ имеет специальный вид. Обозначав через к1 и к2 корни характеристического уравнения к^2+кр+q=0 соответствующего однородного уравнения. Введем о=al + I*b

L=max (n,m)

Gamma={0, если o!=k1, о!=к2// 1, если либо о=к1, о!=к2, либо о!=к1, о=к2// 2, если о=к1=к2}

Число о называется контрольным числом, а число гамма есть кратность контрольного числа о как корня характеристического уравнения.

Частное решение ЛНДУ следует искать в виде y_=x^gamma * e^al*x * (Ml (x)cos bx +Nl sin bx), где Ml, Nl - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты многочленов нужно подобрать таким образом, чтобы функция являлась бы решением ЛНДУ. Для этого необходимо функциюпрродифференцировать дважды и подставить ЛНДУ.

После этого приравнивая коэффициенты при подобных членах находящихся в разных частях, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочленов М и Н.

Решая эту систему наход искомые коэффициенты и подставив их в функцию получаем частное решение ЛНДУ.

18. Нормальная система ДУ и понятие её решения.

Система дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой ДУ.

Пример 1. Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений

Решение. Данная система имеет третий порядок, так как и, значит, . Разрешая первое уравнение относительно , а второе относительно , получим каноническую систему

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

(3)

где — независимая переменная; — неизвестные функции от , называется нормальной системой.

Число называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.

Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему дифференциальных уравнений:

Решение. Положим . Тогда будем иметь , и данная система приведется к следующей нормальной системе третьего порядка: