Алгоритм построения общего ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного д. у. с постоянными коэффициентами:

1) составляем характеристическое уравнение и находим его корни

2) определяем частные решения ДУ, причем:

- а) каждому действительному корню к соответствует решение е^кх;

- б) каждому действительному корню к кратности м ставится в соответствие м линейно независимых решений: е^кх, х*е^кх,..., х^м-1 * е^кх

- в) в каждой паре комплексно-сопряженных корней а+/-б*i характеристическое уравнение ставится в соответствие два линейно-независимых решения: е^ах * cos bx и е^ах * sin bx.

3) составим линейную комбинацию найденных решений, которая будет общим решением исходного линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка уравнение вида y" +p(x)y +q(x)=f(x), где р(х), q(x), f(x) - известные непрерывные функции, а у(x) - неизвестная искомая функция.

Рассмотрит соответствующее ЛОДУ: у"+р(х)у+q(x)=0.

Подбор частного решения ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема:

Общее решение линейного неоднородного ДУ представляется как сумма некоторого частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего ЛОДУ, то есть у=у_+у~