ДУ Бернулли и его решение

Уравнение вида y'+p(x)y=q(x), где p(x), q(x) (10) - заданные непрерывные функции называется линейным д. у. Первого порядка.

Линейное уравнение (10) можно решить метод ом Бернулли следующим образом:

1. Сделаем замену переменной в виде: у=u(x)*v(x) - то есть искомую функцию у заменим двумя неизвестными функциями u(x) и v(x).

2. Вычислим y'=u'v+uv'.

И подставим y и y' в уравнение (10).

u'v+uv' +p(x)uv=q(x)

3. Введем дополнительное уравнение:

u'+p(x)u=0. (11)

Тогда:

uv'=q(x). (11)

В итоге получили систему двух уравнений (11).

Первое уравнение является разделяющимися переменными.

ДУ высших порядков. Основные определения Теорема Коши.

Дифференциальным уравнением порядка н называется уравнение вида: F(x,y,y'...y'(n))=0.

Решение у=fi(x) удовлетворяет начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0, если fi(x0)=y0, fi'(x0)=y0,...,fi'(n-1)0(x0)=y'(n-1)0

Нахождение решения уравнения F(x,y,y'...y'(n))=0, удовлетворяющего начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0, называется решением задачи Коши.

Теорема Коши: Если функция (н-1)-й переменной вида F(x,y,y'...y'(n))=0 в некоторой области D (n-1)-пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по у'...у'(н-1), то какова бы не была точка (x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0) в этой области, существует единственное решение у=fi(x) уравнения у(х)=F(x,y,y'...y'(n)), определенного в некотором интервале, содержащее точку х0, удовлетворяющую начальным условиям x0, y0, y'=0,...,y'(n-1)0.