Однородное ДУ 1-го порядка и его решение

Понятие ДУ 1-го порядка, его решения, общего решения, частного решения.

ДУ называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и ее производные.

В общем виде дифференциальное уравнение записывается следующим образом: F(x, y, y', y",..., y''n)=0 (1). В уравнение 1: х - независимая переменная, принадлежащая некоторой оси от а до б, у(х) - неизвестная функция, подлежащая определению, у' - первая, вторая и т.д. производные функции у до порядка н.

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Запишем общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x,y,y')=0 (2);

Уравнение вида y'=f(x,y) (3) - называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Чтобы от вида (2) перейти к виду (3) надо найти y' из уравнения (2).

Пример: у' - соs x = 0, y'=cos x.

Решением ДУ (1) называется любая функция у(х), при подстановке которой в уравнение последнее превращается в очевидное тождество.

Пример: y'=cos x, проверить, является ли y=sin x решением:

(sin x)'=cos x, cos x=cos x.

ДУ с разделяющимися переменными и его решения.

Стр в лекции

Задача Коши для ДУ 1-го порядка.

Теорема Коши: Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: у'=f(x,y) - если функция f(x,y) и частная производная fy'(x,y) являются непрерывными в некоторой области D, то в окрестности точки М0(х0,y0), являющейся внутренней точкой области D, существует единственное решение у(х) заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям: у(х0)=y0.

Сформулируем задачу Коши для д.у. (I): {у'=f(x,y); y(x0)=y0 - начальные условия.

Однородное ДУ 1-го порядка и его решение.

Дифференциальное уравнение вида у'=f(x,y) называется однородным, если его правая часть f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида Р(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 является однородным, если функции P(x,y) и Q(x,y) - однородные функции одинакового измерения.

Замена: y=ux, y'=u'x + u.