Свойства преобразования Лапласа

1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если

F (p) = L { f (t)}, Ф (p) = L {φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)

во всех точках непрерывности f (t).

2 Теорема линейности. Если f (t) = L ^–1{ F (p)}, g (t) = L ^–1{ G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с ₁ и с ₂

с ₁ f (t) + с ₂ g (t) = с ₁ L ^–1{ F (p)} + с ₂ L ^–1{ G (p)}, Re p > s ₀^{( k )} (k = 1,2,)

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

3 Теорема подобия. Если f (t) = L ^–1{ F (p)}, Re p > s ₀, то для любого числа а > 0

f (аt) = L ^–1{ }, Re p > аs ₀,

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

4 Теорема запаздывания. Если f (t) = L ^–1{ F (p)}, Re p > s ₀, то для любого положительного числа τ

f (t – τ) = e^{– рτ} L ^–1{ F (p)}, Re p > s ₀.

5 Теорема о смещении изображения (затухания). Если

f (t) = L ^–1{ F (p)}, Re p > s ₀, то для любого действительного или комплексного числа α

e^αtf (t) = L ^–1{ F (р – α)}, Re (р – α) > s _0,

т.е. умножение оригинала на функцию e^αt, влечёт за собой «смещение» переменной p.

6 Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f(t), f (t), …, f (t) являются функциями-оригиналами, то

f ^/ (t) = p L ^–1{ F (p)} – f (0),

f ^// (t) = p L ^–1{ F (p)} -p f ( 0) – f ^/ (0),

…

f (t) = p L ^–1{ F (p)} – p f (0) – p f ^/ (0) -…-f (0).

Величина f (0), k= 0, 1, …, n-1, понимается как f (t).

7 Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) = L ^–1{ F (p)} то функция g (t) = также является оригиналом и g (t) = L ^–1{ F (p)}

т. е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 6. 1).

Таблица 6. 1 – Таблица основных формул соответствия

Номер формулы	Оригинал	Изображение
	eαt
	sin ω t
	cos ω t

Продолжение таблицы 6.1

Номер формулы	Оригинал	Изображение
	sh ω t
	ch ω t
	t
	tn
	tn ∙ eαt
	t ∙ sin ω t
	t ∙ cos ω t

Задание 1. Найти изображение функции , используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.

Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции . Из таблиц соответствия известно, что:

1 = L ^–1{ }.

По теореме об интегрировании оригинала имеем

.

Так как , то . Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим

.

Применяя теорему подобия, находим

.

Для нахождения изображения функции применим теорему о дифференцировании изображения. Получим

.

Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим

= 2 L ^–1{ } + + + .

Следовательно,

.

Задание 2. Найти оригинал f (t) по изображению .

Решение. Используя табличные операционные соотношения и свойства линейности, получаем .

Задание 3. Найти изображение дифференциального выражения y (t) = L ^–1{ Y (p)}

Решение. На основании свойства дифференцирования оригинала получаем:

= p L ^–1{ Y (p)} – y (0),

Используя свойство линейности, находим

,