Решение. Из условия задачи следует, что – дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа

Из условия задачи следует, что – дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа , , , .

Так как имеют место оба условия схемы Бернулли, вероятности их появления будем вычислять по формуле Бернулли .

Пусть А– случайное событие, состоящее в том, что каждое изделие из трех отобранных для проверки окажется годным; – гипотезы, заключающиеся в том, что оно проверено первым или вторым товароведом соответственно. Тогда по формуле полной вероятности

.

По условию , , , .

Значит, .

Итак, для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли

Тогда

; ;

; .

Контроль: 0,002197+0,044109+0,295191+0,658503 = 1.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 4.1

X
P	0,002197	0,044109	0,295191	0,658503

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

По определению .

Значит, .

По формуле вычислим дисперсию.

.

Среднее квадратическое отклонение

Замечание. Рассмотренная в задаче случайная величина Х – дискретная и распределена по биномиальному закону. Поэтому математическое ожидание и дисперсию можно вычислить так:

; .

Задание 9. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса не допущена ошибка, равна 0,9. Аудитору на заключение представлено 4 баланса предприятия. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Найдите:

1) числовые характеристики этого распределения: М(Х), D(X);

2) функцию распределения F(X) и постройте ее график;

3) вероятность того, что:

а) ни один бухгалтерский баланс не получит положительного заключения;

б) хотя бы один бухгалтерский баланс получит положительное заключение;

в) не более двух бухгалтерских балансов получат положительное заключение.

Решение. Составим закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Из четырех проверяемых балансов положительное заключение может получить ни один баланс, один, два, три и все четыре баланса, т.е.

.

Вероятности вычислим по формуле Бернулли , при этом .

;

;

;

;

.

Проверим выполнение соотношения .

.

Тогда ряд распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы примет вид

Таблица 4.2

Х
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

1) Найдём математическое ожидание .

Найдём дисперсию .

.

Замечание. Так как случайная величина Х имеет биномиальное распределение, то числовые характеристики можно вычислять по формулам:

.

2) Найдём функцию распределения .

или

Построим график функции .

Рисунок 4 – График функции

3) Искомые вероятности найдем, используя закон распределения СВ Х:

а) р (Х = 0)= 0,0001;

б) р (Х ≥ 1) = р (Х = 1) + р (Х = 2) + р (Х = 3) + р (Х = 4) =

= 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 0,9999,

Или

р (Х ≥ 1) = 1 – р (Х = 0) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

в) р (Х £ 2) = р (Х = 0) + р (Х = 1) + р (Х = 2) =

= 0,0001 + 0,0036 + 0,0486 = 0,0523.

Ответ: 1) ; ; 3) а) 0,0001; б) 0,9999; в) 0,0523.

Задание 10. Дана функция распределения СВ Х:

F (x) =

Найти:

1) коэффициент а;

2) математическое ожидание М (Х), дисперсию D (X);

3) Р .

Построить графики функций F (x) и f (x).

Решение. Найдем вид функции плотности распределения вероятностей заданной случайной величины.

f (x) = F ′(x) =

1) Для нахождения значения параметра а используем свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: = 1.

= + + = = 4 а = 1,

откуда, а = .

Таким образом,

F (x) = f (x) =

2) Математическое ожидание М (Х) найдем по формуле

М (Х) = = = = .

Дисперсию D (X) найдем по формуле

D (X) = =

= – = – = 2 – = .

3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой

P (α ≤ X ≤ β) = F (β) – F (α).

Получим

Р = F – F = – = =

Построим графики функций F (x) и f (x) (рисунки 5а, 5б)

а) б)

Рисунок 5 – Графики функций F (x) и f (x)

Ответ: 1) а = ; 2) М (Х) = ; D (X) = ; 3) Р = .