Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (6. 1)

f (t) – непрерывная функция действительного переменного.

Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

(6. 2)

где – заданные числа (задача Коши).

Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L ^–1{ F (p)}, y (t) = L ^–1{ Y (p)}.

Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).

Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:

Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:

. (6.3)

Из уравнения (6. 3) выразим .Искомое частное решение y (t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.

Задание 4. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда:

Операторное уравнение будет иметь вид

откуда

.

Дробь разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:

Из системы:

Откуда .

Тогда

.

Используя таблицы соответствия, найдём:

Таким образом, искомое частное решение: