Решение. а) Так как число опрошенных студентов достаточно велико , а вероятность сравнительно мала, то воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа:

а) Так как число опрошенных студентов достаточно велико, а вероятность сравнительно мала, то воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа:

, где .

В нашем случае , ,

Функция четная, поэтому (– 1,07)= (1,07). По таблице [3, Приложение 1] найдем (1,07) = 0,2251. Искомая вероятность .

б) Требование, чтобы неискренних ответов было не более 70, означает, что их число может быть равно 0, 1,2,…,70. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , и воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, по которой , где – функция Лапласа, ; .

Вычислим и :

; .

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , используя таблицу значений [3,Приложение 2], получим

.

Для значений полагают .

в) В этом пункте нужно вычислить , т.е. вероятность того, что из ответов трехсот опрошенных студентов неискренних будет не менее 30 и не более 70. Вычислим и :

; .

Следовательно,

Ответ: а) 0,0401; б) 1; в) 0,8577.

Задание 8. Два товароведа проверяют партию изделий на качество. Производительности их труда относятся как 5: 4.Вероятность выявления брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают три. Составить закон распределения случайного числа – годных изделий среди отобранных. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение σ (Х).