Образцы решения заданий. Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;

2) f (t) ≡ 0 при t < 0;

3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т.е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство:| f (t) | ≤ M ∙ e^st, М > 0, s ≥ 0.

Точная нижняя грань s тех значений s, для которых выполняется указанное условие, называется показателем ро ста функции f (t).

Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F (p) комплексного переменного p=s+i из некоторой области D плоскости комплексного переменного p, определяемая равенством

F (p) = .

Связь между функциями f (t)и F (p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f (t) = L ^–1{ F (p)} или F (p) = L { f (t)}.

Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.