![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задание 1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле в том и другом порядке, если область
задана линиями
и вычислить площадь этой области.
Решение. Строим область :
x |
1/3 |
y |
y= ![]() |
y=x/3 |
![]() |
Рисунок 1 – Область D
Площадь плоской области с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле
.
Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Переменная изменяется от 0 до 1, в это время
изменяется от прямой
до параболы
, так как прямая, параллельная оси ОУ, пересекает сначала прямую
(нижний предел), а затем параболу
(верхний предел). При изменении порядка интегриования область
придется разбить на две области
1 и
2 прямой, параллельной оси
, так как правая часть контура области
состоит из двух линий, определяемых разными уравнениями
и
Следовательно,
(кв.ед.)
Задание 2. Сделать чертеж области интегрирования. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле I = и вычислить в одном из случаев двойной интеграл при
.
Решение. Зная пределы интегрирования 0 ≤ у ≤ 2, , найдем границы области интегрирования D: у = 0, у = 2, х =
, х =
и построим их (рисунок 2).
Рисунок 2 – Область интегрирования
Найдем координаты точки А, точки пересечения прямой х = и полуокружности х =
. Так как в точке пересечения ордината у = 2, то подставив в любое из двух уравнений, найдем х = 1. Итак, точка А имеет координаты А (1;2).
Для того чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, проведем через область D прямые, параллельные оси Оу. Эти прямые пересекают сначала ось Ох, затем прямую у = 2х или дугу полуокружности у = . Следовательно, линией входа будет у = 0 (0 ≤ х ≤
), а линиями выхода будут у = 2х (0 ≤ х ≤ 1) и у =
(1 ≤ х ≤
). Так как линия выхода задается двумя различными аналитическими выражениями, то область D необходимо разбить прямой х = 1 на две области, и двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из этих областей.
Таким образом, получим
I .
Вычислим I = ,если
,то есть
I = .
Вычисляем сначала внутренний интеграл по переменной х, считая у постоянной величиной, имеем:
I = =
=
=
= =
=
= =
=
.
Ответ:
Задание 3. Вычислить – отрезок прямой от А(0; 0) до В (4; 3).
Решение. Уравнение прямой АВ имеет вид Находим
и, следовательно,
Задание 4. Вычислить криволинейный интеграл ,
где АВ–дуга параболы от т.А(
) до т.В (
).
Решение. Изобразим кривую, вдоль которой ведется интегрирование:
Рисунок 3 – Кривая, вдоль которой ведется интегрирование
Вычисление криволинейного интеграла сведем к вычислению определенного интеграла по формуле
=
.
Так как АВ–дуга параболы, заданной уравнением от т.А(
) до т.В (
), то
, а переменная
меняется в пределах от 1 до 2. Следовательно,
=
=
=
Задание 5. Применяя формулу Грина, вычислить – контур треугольника с вершинами L(1; 1), М(2; 2), N(1; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.
Решение. Здесь Находим
Таким образом,
где область D – треугольник LMN. Уравнение прямой LM: y=x, уравнение MN: y=–x+4. Вычислим двойной интеграл по данной области:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1082 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!