Задание 2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

.

Решение. Так как уравнение линейное, то решаем его с помощью подстановки Бернулли:

, где .

Имеем: . Подставив в исходное уравнение выражения для и , получим уравнение

,

которое преобразуем к виду

.

Так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению, то одну из неизвестных функций, например , можно выбрать произвольно. Выбираем в качестве любое частное решение уравнения .

Тогда . Разделим переменные, имеем:

.

Интегрируя, получим:

, .

Полагая , выбираем частное решение . Далее найдем общее решение из уравнения , где . Имеем:

, , .

Общее решение исходного уравнения

.

Задание 3

а) Найти общее решение уравнения

(1. 1)

Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида Понизив его порядок с помощью подстановки где . Тогда . Подставив в уравнение (1. 1) вместо и их выражения, получим

(1. 2)

Это однородное уравнение первого порядка относительно функции . Уравнение (1. 2) решим с помощью подстановки Подставив это в уравнение (1. 2), получим

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

,

,

.

Проинтегрировав, получим

б) Найти общее решение уравнения

. (1. 3)

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Порядок такого уравнения понижается подстановкой , где Тогда

Подставляя вместо и их выражения в уравнение (1. 3), получим

или

– линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции

Решаем подстановкой

,

. (1. 4)

Функцию выберем так, чтобы коэффициент при был равен нулю.

или

Подставляя в уравнение (1. 4), получим

.

Тогда или

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

– общий интеграл данного уравнения при Если т.е. то

Ответ: .

Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение

Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение имеет вид

.

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям В нашем случае а или , или .

Теперь решаем систему уравнений

Откуда .

Следовательно, – искомое частное решение.

Задание 5

Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

Решим сначала однородное уравнение

.

Составим и решим характеристическое уравнение

Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение будет иметь вид

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

В нашем случае так как встречается один раз среди корней характеристического уравнения.

Итак, , где это многочлен нулевой степени.

(Если то при и т.д.).

Чтобы найти коэффициент А, найдем и подставим в первоначальное уравнение.

;

.

.

Приведя подобные и сократив на , получим

откуда

и частное решение имеет вид .

Общее решение данного уравнения:

Найдем и поставим начальные условия, откуда найдем и .

откуда .

И частное решение будет иметь вид