Примеры решения типовых задач

1. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b= -3 и составляющей с осью Ох угол 60˚.

Решение:

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом y=kx+b. По условию b= -3, а k = tg α= tg 60˚=Ö3. Итак, у = х -3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: у = х -3.

2. Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) 3 х +4 у =12;

2) 2 х +3 у =0;

3) у =-2;

4)

Решение:

1) 3 х +4 у =12; 2) 2 х +3 у =0; 3) y =-2; 4) ;

4 у =12-3 х; 3 y =-2 x; k= 0, b= -2. ;

у = ; y = ; y =4- ;

y= ; k = , b =0. y =- ;

y= ; k = , b =4.

k = , b =3.

Ответ: 1) k = , b =3; 2) k = , b =0; 3) k= 0, b= -2; 4) k = , b =4.

3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника.

Решение:

Воспользуемся способом задания прямой по 2-м точкам:

АВ: ; BC: ; AC: ;

; ; ;

. . .

Ответ: АВ: ; ВС: ; АС: .

4. Дана прямая 2 х +3 у -3=0 и точка М₀(1;-2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀: а) параллельно заданной прямой; б) перпендикулярно заданной прямой.

Решение:

1-й способ.

а) Условие параллельности двух прямых k ₁= k ₂.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k ₂ x + b ₂; 3 y =3-2 x; y = ; k ₁= Þ k ₂= ; у = b ₂. Так как М₀(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 1+ b ₂Þ b ₂=-2+ , b ₂= . Итак, y = Û3 у +2 х +4=0.

б) Условие перпендикулярности двух прямых k ₁ k ₃=-1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k ₃ x + b ₃; k ₁= Þ k ₃ Þ k ₃= ; y= x + b ₃. Так как М₀(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 1+ b ₃Þ b ₃=-2 Þ b ₃= .

Итак, Þ3 x -2 у -7=0.

2-й способ.

l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6pA0bQlxKlSJCxyAwgc4yZJE2OsQu6n79ywnuM1oRrNvy120 Rsw4+cGRgttlAgKpce1AnYKP98ebLQgfNLXaOEIFZ/Swqy4vSl207kRvOB9CJ3iEfKEV9CGMhZS+ 6dFqv3QjEmefbrI6sJ062U76xOPWyDRJ1tLqgfhCr0fc99h8HY5WwdPL6+KcxvXie5PX+zhvTXz2 Rqnrq/hwDyJgDH9l+MVndKiYqXZHar0w7LOU0QOL1R0ILmRpvgJRK9hkOciqlP8/qH4AAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAF3PNyvIBAADqAwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAdpYf698AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABMBAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFgFAAAAAA== " strokecolor="black [3040]"/>

.

М0(1;-2)

Рис.2

а) Из общего уравнения прямой 2 х +3 у -3=0 определяем координаты вектора нормали . Если искомая прямая параллельна заданной, то вектор будет являться нормалью и к искомой прямой (рис.2). Мы имеем нормаль и точку М₀(1;-2), через которую проходит искомая прямая, поэтому используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х ₀, у ₀) перпендикулярно вектору . А(х-х ₀)+В(у-у ₀)=0, 2(х -1)+3(у +2)=0, 2 х +3 у +4=0.

б) Если искомая прямая l ₁ (рис.3) перпендикулярна заданной l, то вектор будет параллелен прямой l ₁, и мы возьмем его в качестве направляющего вектора искомой прямой .

l

l 1

2 х +3 у -3=0

.

М(1;-2)

Рис.3

Используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х ₀, у ₀) параллельно вектору . . У нас . ; 3 х -3=2 у +4, 3 х -2 у -7=0.

Ответ: 2 х +3 у +4=0, 3 х -2 у -7=0.

2. Найти расстояние от точки М₀(2;-1) до прямой 3 х +4 у -22=0.

Решение:

; х ₀=2; у ₀=-1.

А=3; В=4; С=-22.

.

Ответ: 4.