Примеры решения типовых задач. 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,4,-3) перпендикулярно прямой (рис.11)

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,4,-3) перпендикулярно прямой (рис.11).

Решение:

{5;-1;2}

М(2;4;-3)

Рис. 11

Чтобы написать уравнение плоскости A (x-x ₀ )+ B (y-y ₀ )+ C (z-z ₀ ) =0, необходимо знать координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас это точка М(2;4;-3)), и координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор {5;-1;2} можно взять в качестве вектора-нормали к плоскости. Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

5(х -2)-1(у -4)+2(z +3)=0;

5 х- 10- у +4+2 z +6=0;

5 х - у+ 2 z =0.

Ответ: 5 х-у+ 2 z =0.

2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2;4;-3) перпендикулярно плоскости 3 х- 2 у+ 5 z -1=0 (рис.12).

Решение:

{-3;-2;5}

М(2;4;-3)

Рис.12

Чтобы написать канонические уравнения прямой в пространстве , необходимо знать координаты любой точки М(х ₀, у ₀, z ₀), через которую проходит прямая (у нас эта точка М(2;4;-3)), и координаты направляющего вектора { m; n; p }(вектора, параллельного прямой). Так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна вектору нормали к плоскости. Следовательно, определив из уравнения плоскости координаты вектора нормали {-3;-2;5}, возьмем его в качестве направляющего вектора прямой. Теперь запишем каноническое уравнение искомой прямой

.

Ответ: .

3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-3;-4) параллельно прямой .

Решение:

Уравнение прямой будем искать в виде , где

x ₀, y ₀, z ₀ – координаты точки, через которую проходит прямая (у нас это точка М₀(2;-3;-4)), { m; n; p } – направляющий вектор прямой. Так как искомая прямая параллельна заданной прямой, у них один и тот же направляющий вектор. Найдем направляющий вектор прямой, заданной в условии общими уравнениями. Общие уравнения прямой задают, как линию пересечения двух плоскостей (рис.13).

М0(2;-3;-4)

Рис.13

Из общих уравнений плоскостей определяем координаты их нормалей {1;1;-1} и {1;-1;2}. Заметим, что направляющий вектор ^ и ^ , следовательно, вектор можно найти как векторное произведение и .

´ = .

{1;-3;-2} – направляющий вектор искомой прямой. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид: .

Ответ: .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и (рис. 14).

Решение:

Рис.14

l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6qSlaRTiVKgSFzgAhQ9wkiWJsNchdlP379me4Da7M5p9W+6i NWLGyQ+OFKTLBARS49qBOgWfH093OQgfNLXaOEIFZ/Swq66vSl207kTvOB9CJ7iEfKEV9CGMhZS+ 6dFqv3QjEntfbrI68Dh1sp30icutkaskyaTVA/GFXo+477H5PhytgufXt8V5FbPFz3ZT7+Ocm/ji jVK3N/HxAUTAGP7CcMFndKiYqXZHar0wCtabLSd5n69BXPwsZVGzSJN7kFUp/39Q/QIAAP//AwBQ SwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlw ZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVs cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQCja3s/8gEAAOkDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv ZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAFPDDL3gAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEwEAABk cnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVwUAAAAA " strokecolor="black [3040]"/>

Чтобы написать уравнение плоскости в виде A (x-x ₀ )+ B (y-y ₀ )+ C (z-z ₀ ) =0, необходимо знать координаты любой точки М₀(x ₀, y ₀, z ₀), лежащей в плоскости, и координаты вектора {А,В,С}, перпендикулярного плоскости.

Из уравнений прямых определяем координаты точек М₁(2;1;0) и М₂(-1;1;3), лежащих на прямых, а следовательно, и в искомой плоскости. В качестве М₀(x ₀, y ₀, z ₀) можем взять любую из них.

Теперь ищем вектор нормали. Заметим, что направляющий вектор прямых {4;-2;1} параллелен плоскости, а следовательно, ^ . Вектор лежит в плоскости, следовательно, . Тогда = .

={-1-2;1-1;3-0}={-3;0;3}.

= = .

Итак, {-6;-15;-6} – нормальный вектор плоскости. Подставим координаты вектора и координаты любой из точек М₁ или М₂ в уравнение плоскости A (x-x ₀ )+ B (y-y ₀ )+ C (z-z ₀ ) =0, получим: -6(х -2)- -15(у -1)-6(z -0)=0 (мы подставили точку М₁(2;1;0)).

2(х -2)+5(у -1)+2(z -0)=0;

2 х -4+5 у -5+2 z =0;

2 х +5 у +2 z -9=0.

Ответ: 2 х +5 у +2 z -9=0.

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-1;0;2) и М₂(3;2;1) перпендикулярно плоскости α: 2 х -3 у + z -5=0.

Решение:

Рис.15

Ищем уравнение плоскости β в виде A (x-x ₀ )+ B (y-y ₀ )+ C (z-z ₀ ) =0 (рис.15). Нам необходимо иметь координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас их две М₁ и М₂), и координаты вектора нормали. Так как вектора нормали в условии задачи нет, следует найти любые два вектора, ортогональные нормали. Тогда их векторное произведение даст нам нормаль. На рис.15 видно, что и . Координаты вектора {2;-3;1}определяются из уравнения плоскости α. Найдем координаты вектора .

={3-(-1);2-0;1-2}={4;2;-1}.

= .

Подставляем координаты вектора {1;6;16} и координаты любой из точек М₁ и М₂ (мы возьмем М₁(-1;0;2)) в уравнение плоскости, получим:

1(х +1)+6(у -0)+16(z -2)=0;

х +6 у +16 z -31=0;

Ответ: х +6 у +16 z -31=0.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(2;3;-4).

Решение:

М1(1;0;-2)

М(2;3;-4)

Рис.16

Чтобы написать уравнение плоскости A (x-x ₀ )+ B (y-y ₀ )+ C (z-z ₀ ) =0, необходимо знать координаты точки, лежащей в плоскости (у нас точка М(2;3;-4)), и координаты вектора нормали .

В условии задачи нет вектора нормали, но мы заметим (рис. 16), что направляющий вектор прямой {2;-1;3}^ и вектор . Тогда . Определив из уравнений прямой координаты точки М₁(1;0;-2), найдем вектор ={1-2;0-3;-2-(-4)}={-1;-3;2}.

= . Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

7(х -2)-7(у -3)-7(z +4)=0;

7 х -14-7 у +21-7 z -28=0;

7 х -7 у -7 z -21=0;

х - у - z -3=0.

Ответ: х - у - z -3=0.