Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Кривые второго порядка на плоскости



Уравнение вида А х 2+2В хуу 2+2D х +2Е у +F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица 2

№ п/п Определение кривой Вид уравнения Примечание
  Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)   - каноническое уравнение эллипса 2 а – большая ось; 2 b – малая ось 2 с –межфокус-ное расстояние с22-b2; - эксцентриси-тет, 0< e <1. Т. А1212 – вершины эллипса
  Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5) - каноническое уравнение гиперболы 2 а –действи-тельная ось; 2 b –мнимая ось; 2 с –меж-фокусное расстояние с22+b2; - эксцентри-ситет, e >1. Точки А12 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3. Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
Рис.6б 6б 31
х
F
х 2=2 py

у 2=2 px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2 =2 – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)   F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36 х 2+100 у 2=3600.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36 х 2+100 у 2=3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a 2=100, b 2=36.

F л(-с,0) – левый фокус;

F п(с,0) – правый фокус;

С= .

F л(-8,0); F п(8,0).

Эксцентриситет: .

Ответ: F л(-8,0); F п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16 х 2+25 у 2=400 и точку М0(1;-3) (рис.7).

 
у
Решение:

-4
 
-5
М
х
М0


Рис. 7


Приведем уравнение 16 х 2+25 у 2=400 к каноническому виду.

, a 2=25, b 2=16.

Левая вершина эллипса (- а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:

.

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9 х 2-16 у 2=144 и параллельно прямой 3 х -2у+6=0 (рис.8).

Решение:

-3
-4
 
 
FП
х
у
Рис.8


Приведем уравнение 9 х 2-16 у 2=144 к каноническому виду , a 2=16, b 2=9.

Правый фокус гиперболы F п(с,0);

С= .

Итак, F п(5,0).

1-й способ.

Условие параллельности двух прямых: k 1= k 2.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k 2 x + b 2;

3 х -2 у +6=0;

2 у =3 х +6;

у= (3/2) х +3;

k 1=3/2Þ k 2=3/2.

Значит, y= (3/2) x + b 2 проходит через точку F п(5,0), то 0=(3/2)5+ b 2Þ b 2=-15/2. Итак, Û3 x -2 у -15=0.

2-й способ.

Искомая прямая проходит через точку F л(5,0) параллельно прямой 3 х -2 у +6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х 0)+В(у-у 0)=0, 3(х -5)-2(у -0)=0, 3 х -2 у -15=0.

Ответ: 3 х -2 у -15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4 х 2+20 у 2=80, перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0 (рис.9).

М
 
-2
y
l
х


Рис. 9


Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду 4 х 2+20 у 2=80,

, a 2=20, b 2=4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;- b)=М(0;-2).

1-й способ.

Условие перпендикулярности двух прямых: k 1 k 3=-1.

2 х - у +1=0

у =2 х +1Þ k 1=2.

Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k 2 x + b 2;

k 2=-1: k 1Þ k 2=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þ х +2 у +4=0.

2-й способ.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2 х - у +1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х 0, у 0) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

- х =2 у +4, х +2 у +4=0.

Ответ: х +2 у +4=0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Решение:

a 2=16, b 2=25.

Правый фокус эллипса имеет вид F п(с,0);

С= .

Итак, F п(3,0).

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg 45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx + b;

k =1Þ y=x + b.

Так как прямая проходит через точку F п(3,0), то 0=3+ b Þ b =-3.

Значит, y=x -3.

Ответ: y=x -3.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2025 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...