Функция распределения случайной величины

До сих пор мы рассматривали только дискретные случайные величины. Мы перечисляли все возможные значения случайной величины и задавали вероятности этих значений. Можно однако привести большое число примеров, когда случайная величина принимает непрерывный ряд значений: дальность L полета артиллерийского снаряда, расстояние случайно выброшенной точки Х на оси координат Ох от начала координат, вес дождевой капли и т.д. Будем рассматривать случайную величину Х, значения которой сплошь заполняют некоторый интервал значений (a;b). Теперь уже невозможно перечислить все возможные значения случайной величины. Для таких случайных величин вводят новое понятие – функция распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х – некоторое действительное число.Функцией распределения называют функцию F(x), равную вероятности того, что случайная величина Х в результате испытаний примет значение, меньшее, чем х:

F(x)=P(X<x). (1.6.1)

Геометрическая трактовка формулы (1.6.1): F(x) – вероятность того, что на оси Ох случайная величина примет значение слева от фиксированной точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от выбранного значения х, поэтому F – функция от х.

Иногда термин функция распределения заменяется термином интегральная функция распределения или интегральный закон распределения. Для непрерывной случайной величины функция F(x) является непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

0 £ F(x) £ 1.

Это следует из определения вероятности.

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₂) ³ F(x₁), если x₂>x₁.

Доказательство. Событие, состоящее в том, что Х<x₂ можно разбить на следующие два несовместных события:

а) X < x₁ и

б) x₁ £ X < x₂.

Вероятность первого события равна Р(Х<x₁)=F(x₁). Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Р(X<x₂)=P(X<x₁)+P(x₁ £ X<x₂),

F(x₂)=F(x₁)+P(x₁ £ X<x₂),

F(x₂)–F(x₁)=P(x₁ £ X<x₂).

Но вероятность P(x₁ £ X<x₂) ³ 0 по определению, поэтому F(x₂)–F(x₁) ³ 0, F(x₂) ³ F(x₁).

Следствие 1. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал (a;b) равна F(b)–F(a):

P(a £ X<b)=F(b)–F(a). (1.6.2)

Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытаний Х примет значение в интервале (0;2).

Решение. На этом интервале , поэтому P(0<X<2)=F(2)–F(0)= .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Т.к. Р(x₁ £ X<x₁+Dx)=F(x₁+Dx)–F(x), то при Dх®0

P(X=x₁)=0.

Легко убедиться также, что

P(a £ X<b)=P(a<X<b)=P(a<X £ b)=P(a £ X £ b),

т.к. добавление к промежутку одной точки не меняет вероятности попадания Х в новый промежуток.

Важно понять, что не имеет смысла говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина принимает одно определенное значение. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания такой величины в некоторый интервал. Это вполне соответствует задачам практики.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то:

а) при х £ а F(x)=0;

б) при х ³ b F(x)=1.

(без доказательства).

Следствие. Если Х может принимать любые значения из интервала (–¥;¥), то:

Как выглядит график функции F(x)?

а) график полностью содержится в полосе 0 £ y £ 1;

б) F(x) – неубывающая функция х.

Примеры.

1)
2)

Замечание. Для дискретной случайной величины наряду с законом распределения можно также рассматривать и функцию распределения. Ее график имеет ступенчатый вид.

Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение. Очевидно, что если х £ 1, то F(x)=Р(X<x)=0. Если 1<x £ 4, то случайная величина Х может принять только одно значение слева от х: х=1 и вероятность этого равна 0,3, т.е. F(x)=0,3. Если же 4<x £ 8, то Х может принять либо значение х=1 с вероятностью 0,3, либо значение х=4 с вероятностью 0,1. Поэтому

F(x)=P(X<x)=P{X=1}+P{X=4}=0,3+0,1=0,4.

Наконец, если х>8, то F(x)=1, т.к. событие Х £ 8 достоверное. Аналитически функцию распределения можно записать в виде

F(x)=

Ее график изображен ниже.