Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин

Рассмотрим теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях некоторых случайных величин, широко применяемых как в теории, так и на практике.

Теорема 1. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – одинаково распределенные случайные величины, математическое ожидание каждой из которых равно а, то математическое ожидание их суммы равно na, а математическое ожидание средней арифметической равно а.

Доказательство.

М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n)=n×a.

.

Теорема 2. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна s², то дисперсия их суммы равна ns², дисперсия средней арифметической равна , а среднеквадратическое отклонение средней арифметической равно .

Доказательство. Поскольку Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины, то

D(Х₁+Х₂+…+Х_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)=ns².

Тогда

.

.

Теорема 3. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону, т.е. числа наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с постоянной вероятностью р, равно np, а дисперсия равна npq, где q=1–p.

Доказательство. Искомую случайную величину Х представим в виде Х=Х₁+Х₂+…+Х_n, где Х_i – число появлений события в i -м испытании. Мы уже знаем, что М(Х_i)=р. Поэтому

М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n)=np.

Величины Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые, т.к. исход i -го испытания не зависит от исходов других испытаний. Поэтому

D(X) = D(Х₁ + Х₂ +…+ Х_n) = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n) = (Х_i).

Найдем D(X_i).

D(X_i)=M(X_i²)–[M(X_i)]²=M(X_i²)–p².

Величина X_i² принимает два значения: 1²=1 с вероятностью р и 0²=0 с вероятностью q. Поэтому М(X_i²)=1×p+0×q=p. Окончательно имеем D(X_i)=p–p²=pq,

D(X)= .

Теорема 4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l этого закона.

Доказательство. Напомним, что случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, принимает только целые неотрицательные значения m=0, 1, 2, … с вероятностями, определяемыми формулой (1.2.3.1):

.

Следовательно,

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D(X)=M(X²)–[M(X)]²=M(X²)–l².

Очевидно,

Тогда D(X)=l²+l–l²=l. Теорема доказана.

Таким образом, теорема 4 раскрывает нам смысл параметра l пуассоновского распределения – он является математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, распределенной по этому закону.