Оценка точности вычисления определенного интеграла

Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов , равном , определяется по формуле Рунге:

где - значения интеграла при числе шагов, равном ,

- порядок точности, равный для формулы левых (правых) прямоугольников, 2 для формулы трапеций и 4 для формулы Симпсона.

Таким образом, интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) для последовательных значений числа шагов , , , и т.д. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где ε ‑ заданная точность.

Пример 5.1. Вычислить определенный интеграл методами прямоугольников, трапеций и парабол:

Решение. Выберем на отрезке интегрирования различных узлов

Шаг разбиения для равноотстоящих узлов определяем по формуле

Сравнивая формулы 5.4, 5.5, 5.13 и 5.15, обратим внимание, что определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле

где - числовые коэффициенты, на которые умножаются значения функции в узлах :

- для метода левых прямоугольников;

- для метода правых прямоугольников;

- для метода трапеций;

- для метода парабол

Вычислим значения функции в узлах (табл. 5.3).

Таблица 5.3

		0,125	0,25	0,375	0,5	0,625	0,75	0,875
	1,000	1,016	1,061	1,132	1,225	1,335	1,458	1,591	1,732

Вычислим интеграл:

По формуле левых прямоугольников

По формуле правых прямоугольников

По формуле трапеций

По формуле парабол

Пример 5.2. Вычислить с помощью программы Excel определенный интеграл методом трапеций

.