Сглаживание. Метод наименьших квадратов (МНК)

Задача аппроксимации функции может ставиться, когда исходные данные содержат погрешности (рис. 4.3а), повторы (рис. 4.3б) или очень большое количество точек (рис. 4.3в). В этих случаях аппроксимация на основе интерполяции не имеет смысла или невозможна.

а)	б)	в)
Рис. 4.3. Аппроксимация функции сглаживанием.

Для задачи аппроксимации сглаживанием критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как минимальное отклонение значений в заданных точках. Количественно отклонение может быть оценено различными способами. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому необходимо минимизировать сумму квадратов:

(4.3)

где _, - значения данных - значение аппроксимирующей функции в точке ; - число данных, - незвестные параметры. Задача сводится к нахождению экстремума функции параметров .

Линейная аппроксимация. В случае линейной формулы сумма квадратов (4.3) принимает вид:

(4.4)

Функция (4.4) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам и обращаются в нуль, т.е.

, (4.5)

(4.6)

Решая систему уравнений (4.6), получим значения и уравнения .

Пример 4.4. Подобрать аппроксимирующий полином первой степени для данных

Таблица 4.3.
	0,2	0,9	2,1	3,7

Решение. Для удобства вычисленные значения расположим в таблице.

Таблица 4.4.
		0,2		0,2
		0,9		0,9
		2,1		4,2
		3,7		14,8
		6,9		20,1

Система для определения коэффициентов имеет вид:

(4.7)

Решая систему (4.7), получим следующие значения параметров: , . Следовательно, искомый полином имеет вид:

.

Полиномиальная аппроксимация. В случае выбора зависимости в виде полинома, например, 2-й степени и (4.3) принимает вид:

(4.8)

Функция (4.8) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам , , обращаются в нуль, т.е.:

, , (4.9)

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Или

(4.10)

Решая систему линейных уравнений (4.10), получим значения параметров , и функции .

Пример 4.5. Используя МНК, построить зависимость вида , аппроксимирующую следующие табличные значения:

Таблица 4.5.
	-2	-1
			-1	-2	-1

Решение. Расчеты представим в виде таблицы.

Таблица 4.6.
	-2			-8		-12
	-1			-1		-2
		-1
		-2				-2	-2
		-1				-2	-4
						-18

Тогда система линейных уравнений (4.10) относительно значений , и примет вид:

(4.11)

Решая систему (4.11), получим следующие значения параметров ; ; . Таким образом, искомый полином имеет вид:

Таблица 4.7.
	-2		6,114	0,012
	-1		1,743	0,066
		-1	-0,914	0,007
		-2	-1,857	0,020
		-1	-1,086	0,007

Пример 4.6. Используя программу Excel, построить функцию вида , аппроксимирующую значения из таблицы 4.5: