Модифицированный метод Эйлера

Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины вместо в обычном методе (6.6). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:

(6.7)

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

Подставляя это соотношение в (6.7) и пренебрегая членами порядка , получаем:

(6.8)

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения (6.8), но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций.

Сначала по формуле Эйлера (6.6) вычисляют первое приближение

(6.9)

Затем находится уточненное окончательное значение

(6.10)

Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности.

Пример 6.2. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом

Решение. По формуле (6.9) вычислим первое приближение

Используя формулу (6.10), находим окончательное значение в точке

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

		0,1	0,2	0,3
		1,1055	1,224128	1,359361

Программа решения задачи Коши модифицированным методом Эйлера отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на следующие:

1 y1 = y + h*f(x,y)

y = y + h*(f(x,y)+f(x+h,y1))/2

Пример 6.3. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера с помощью программы Excel для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом .