Докажем, что этот функционал является сингулярным. Предположим противное, пусть

(23.1)

Для некоторой локально интегрируемой функции. Тогда для любой основной функции мы будем иметь

.

По теореме дю Буа – Реймона мы получим, что функция почти всюду в области. Ясно, что почти всюду на всем евклидовом пространстве. Но тогда из формулы (23.1) мы можем заключить, что функционал должен быть чисто нулевым, что неверно.

Пример 23.2. Потенциал простого слоя.

Рассмотрим уже известное нам понятие (см. §15) как обобщенную функцию. Пусть ─ кусочно-гладкая поверхность в и ─ измеримая и интегрируемая функция на (плотность функционала простого слоя). Определим обобщенную функцию формулой

. (23.2)