Определение 22.1. Обычная функция , заданная на евклидовом пространстве (или на его подобласти), называетсялокально интегрируемой, если для любого компакта существует интеграл

Теорема 22.2. Пусть функция является локально интегрируемой функцией. Тогда функционал , заданный формулой

Является обобщенной функцией.

Доказательство. Линейность функционала очевидна. Для доказательства непрерывности воспользуемся теоремой 21.4. Пусть. Тогда из определения 21.1 в частности следует, что существует компакт, вне которого все функции равны тождественно нулю и. Тогда

,

т.к. . ■

Определение 22.3. Регулярной обобщенной функцией называется функционал, определенный формулой (22.1), т.е. с помощью некоторой локально интегрируемой функции.

Теорема 22.4 (Дю Буа – Реймона) Пусть ─ регулярная обобщенная функция на пространстве , порожденная локально интегрируемой функцией . Тогда в том и только в том случае, когда почти всюду в области .