Линейность этого функционала очевидна. Пусть . Тогда

Существует компакт в такой, что supp для всех.

Для любого мультииндекса.

В частности, и тем более. Отсюда

При, что доказывает непрерывность данного функционала. Докажем его сингулярность. Предположим, что существует локально интегрируемая функция такая, что

Для любой основной функции. Тогда для любой функции мы будем иметь

.

По лемме дю Буа – Реймона мы выводим, что почти всюду в. Т.к. множество само имеет меру 0, то почти всюду в. Но тогда функционал, заданный формулой (23.2) должен быть чисто нулевым, что неверно.

Пример 23.3. Потенциал двойного слоя.