Свертка обобщенных функций

Предположим вначале, что функции , и их свертка являются локально интегрируемыми функциями. Тогда их можно рассматривать как регулярные обобщенные функции. По определению их действие на основные функции задано формулой

(поменяем порядок интегрирования)

(вернемся к переменной , положим )

.

Напрашивается формула

в качестве определения свертки обобщенных функций. Но нетрудно понять, что так поступать нельзя, ибо функция не является финитной. В самом деле, предположим, что в какой-либо точке . Тогда на прямой , т.е. функция в точках этой прямой отлична от нуля, следовательно, ее носитель не является компактным, а функция − финитной. Эти соображения приводят нас к следующему определению

Определение 31.1. Если функции и − обобщенные функции, тогда их свертка – это функционал вида:

, (31.1)

где − последовательность основных функций таких, что на шаре эта функция тождественно равна 1.

Заметим, что функция является финитная и бесконечно дифференцируемая функцией, т.е. основной. Всюду далее такие последовательности функций мы будем называть исправляющей. Заметим, что предел в формуле (31.1) существует не всегда, следовательно, свертка может и не существовать.

Теорема 31.2. Если свертка обобщенных функций и существует, то она является обобщенной функцией, т.е. линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций.

Это утверждение следует из теоремы 26.1 о полноте пространства .