Свойства преобразования Лапласа

36.1. Линейность преобразования Лапласа: .

Доказательство легко следует из определения преобразования Лапласа. Эту формулу можно переписать в виде формулы (36.2):

.

36.2. .

Доказательство: .

36.3. Дифференцирование оригинала:

Доказательство.

.

Устремив , получим: .

36.4. Дифференцирование изображения: .

Доказательство. .

Нетрудно обобщить последние две формулы по индукции:

36.5. .

36.6. .

36.7. Интегрирование оригинала: .

Доказательство. Обозначим . Тогда . Применим теперь формулу 36.3:

.

Из определения функции следует, что . С другой стороны .

Следовательно, .

36.8. Интегрирования изображения: .

Доказательство. Дано, что . Нам известно, что (формула 36.4). Применим эту формулу к функции :

.

С другой стороны . Следовательно, .

Проинтегрировав последнее равенство от до , получим: .

36.8. Формула запаздывания: .

Доказательство. Найдем: .

Заметим, что при , следовательно, при .

Тогда

.

36.9. .

Доказательство. .

36.10. .

Доказательство. .

Мы считаем, что при . Тогда при и при или .

s

t

Тогда .

.