Преобразование Фурье. Прямое преобразование Фурье: функции ставится в соответствие

Прямое преобразование Фурье: функции ставится в соответствие

,

где и , а – скалярное произведение.

Обратное преобразование Фурье: функции ставится в соответствие

.

Эти преобразования мы будем рассматривать как действующие на пространстве быстро убывающих функций:

тогда и только тогда, когда выполнены следующих два условия

(33.1) ;

(33.2) равномерно при для любого многочлена и любого мультииндекса .

Условие (33.2) формально можно сформулировать следующим образом: такое, что для любого такого, что , выполнено .

Предложение 33.1. .

Утверждение очевидно.

Предложение 33.2. .

Функция , очевидно, бесконечно дифференцируема при , причем , где – некоторый многочлен. Хорошо известно, что

стремится равномерно к нулю при . Отсюда следует бесконечно дифференцируемость функции при и, кроме того, ее принадлежность пространству . Ч.т.д.

Предложение 33.3. является векторным пространством.

Утверждение очевидно.

Пусть . Для каждого числа определим норму

(33.3)

Предложение 33.4. Для каждого

1) норма существует и конечна,

2) .

Таким образом, пространство является так называемым счетно-нормированным пространством. Сходимость в пространстве определяется следующим образом:

(33.4) тогда и только тогда, когда для каждого .

Замечание 33.5. Сходимость (33.4) в пространстве совпадает со сходимостью, которая определяет метрика .

Теорема 33.6. Тождественный оператор из пространства в пространство является линейным и непрерывным.

Доказательство. Очевидно, что . Нужно доказать, что тождественный оператор является непрерывным. Пусть . Тогда

1) существует компакт такой, что каждого ;

2) .

Отсюда получаем , т.е. . ■

Теорема 33.7. Пространство всюду плотно в , т.е. для любого существует последовательность такая, что .

Доказательство. Пусть . Выберем последовательность основных функций (т.е. ) такую, что на шаре радиуса . Обозначим . Имеем . Таким образом, . ■

Дифференцирование преобразования Фурье:

(33.5)

Доказательство. .

Так как .

То . ■

Преобразование Фурье оператора дифференцирования:

(33.6)

Доказательство. Рассмотрим частный случай. Будем считать, что .

Тогда . Интегрируя по частям последний интеграл, получим: .

Так как функция принадлежит пространству , то ее предел на равен 0 и поэтому . Следовательно, ■

Вывод 33.8. Преобразование Фурье преобразует операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную.

Теорема 33.9. Преобразования Фурье являются линейными непрерывными операторами.

Доказательство. Линейность данных операторов очевидна. Докажем их непрерывность. Имеем:

, (32.7)

.

Умножим и разделим последнее выражение на . Получим:

.

Следовательно, , где , . Тогда и оператор - непрерывен.

Непрерывность оператора доказывается аналогично.

■

Пример 33.10. Пусть . Вычислим .

Имеем . Отсюда

=(по частям) = =

= . Отсюда следует, что функция является решением дифференциального уравнения . Ясно, что . Имеем

.

Итак, .

Теорема 33.11. Операторы и являются взаимообратными на пространстве , т.е. .

Доказательство. Покажем вначале, что для любых и выполнено равенство

. (32.8)

В самом деле,

=

{выражение в скобках равно }=

.

Устремим в формуле (32.8):

. (32.9)

Найдем преобразование Фурье функции (см. пример 33.10):

. (32.10)

Заметим, что и что левая часть в формуле имеет вид . Отсюда и из формул (32.9)-(32.10) получаем

. █

■

Теорема 33.11. – изометрия пространства на себя, т.е.

. (32.11)

Доказательство. Запишем формулу (32.8) при и :

. (32.12)

В последней формуле есть произвольная функция из пространства , а функцию определим следующей формулой (она также принадлежит пространству , т.к. прямое и обратное преобразование Фурье не выводят их этого пространства):

,

т.е.

.

Отсюда

=

Отсюда формула

??

?