Условия существования свертки

Теорема 32.1. Пусть даны обобщенные функции , причем одна из них имеет компактный носитель (пусть, для определенности, это будет функция ). Тогда свертка существует, и верна формула

(32.1)

где − любая основная функция, такая что на .

Доказательство. Рассмотрим множество . Ясно, что если , то . По условию, − компактное множество, следовательно, его можно включить в шар достаточно большого радиуса: . По определению: . Возьмем шар радиуса так, чтобы в он содержал пересечение .

При достаточно большом числе справедливо тождество:

.

Следовательно,

.

■

Теорема 32.2. (Только для одномерного случая) Пусть и пусть носители этих функций ограничены с одной стороны, т.е.:

а) и , либо

б) и .

Тогда свертка существует. Более того, справедлива формула:

,

где и бесконечно дифференцируемые функции, тождественно равные 1 на и , соответственно.

Теорема 32.3. При условиях теорем 32.1 и 32.2 операция свертки является раздельно непрерывной на пространстве , т.е. если , то .

Доказательство. По определению сходимости в пространстве условие означает, что для любой основной функции . Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда