Свойства прямого произведения

1. Коммутативность: .

Равенство элементов в пространстве подразумевает, что для любой справедливо равенство

(29.1).

Докажем сначала равенство (29.1) для частного случая. Рассмотрим основную функцию вида

(29.2),

с разделенными переменными. Докажем (29.1) в случае, когда имеет вид (29.2):

.

Аналогично можно записать, что

Следовательно, (29.1) выполнено.

■

Предложение 29.1. Совокупность основных функций вида (29.2) образует всюду плотное множество в (т.е. любую основную функцию можно аппроксимировать функциями вида (29.2)).

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию , аппроксимируем ее функциями вида (29.1). Обозначим . Это множество является компактом, лежащий в евклидовом пространстве. Можно считать, что , где , . Пусть , , причем и лежат во внутренности и . Пусть функция задана на всем евклидовом пространстве, а ненулевые значения принимает только на . По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию, заданную на компакте можно равномерно аппроксимировать многочленами. Нам понадобится усиленная форма этой теоремы: можно равномерно аппроксимировать не только саму функцию, но одновременно все ее производные вплоть до некоторого конечного порядка. Фиксируем и рассмотрим мультииндекс , . Тогда по теореме Вейерштрасса существует последовательность многочленов , такая, что

, (29.3)

Многочлены не являются основными функциями, преобразуем их следующим образом. Определим основную функцию

Аналогично определим функцию Рассмотрим брус . Для каждого определим финитные и бесконечно дифференцируемые функции , т.е. . Убедимся, что аппроксимируют функцию в . Если и , то . За пределами множества , т.е. в точках множества выполнено .

Поэтому в точках множества имеем

.

Имеем где , , .

Заметим, что функция от не зависит, следовательно, для , . Аналогично, для , .

Тогда . По условию последнее выражение равномерно сходится к нулю на множестве (см. формулу (29.3)) .

■

1. Ассоциативность:

.

■

Пример 29.2. Пусть , , тогда справедливо равенство (29.4)

Доказательство. Имеем

= .

■

1. Раздельная непрерывность: если , то .

Сходимость в означает, что для следует, что . Рассмотрим .

■

4. Полезная формула. Функция - локально интегрируема на .

Положим: .

С другой стороны

.

Запишем в виде формулы:

. (29.5)