Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть функция принадлежит пространству . В предыдущем параграфе мы видели, что ее преобразование Фурье

также принадлежит этому пространству. В частности, функция локально интегрируема, и ее можно рассматривать как регулярную обобщенную функцию (принадлежащую пространству ). Применим ее к . Тогда

.

.

Определение 34.1. Преобразование Фурье обобщенной функции определено формулой

. (34.1)

Корректность определения следует из того, что и .

Замечание 34.2. Из данного определения следует, что преобразование Фурье обобщенных функций можно рассматривать как продолжение преобразования Фурье, определенного на пространстве .

Теорема 34.3. Преобразование Фурье обобщенных функций линейно и является непрерывным оператором в следующем смысле: если для любого , то .

Доказательство. В предыдущем параграфе мы видели, что преобразование Фурье является линейным непрерывным оператором. Формула (34.1) показывает, что преобразование Фурье обобщенных функций фактически является сопряженным оператором к . Его линейность очевидна. Если для любого , то ■

Теорема 34.4. .

Доказательство. Обозначим и покажем, что , т.е. является обратным оператором к . Имеем

Далее, .

Следовательно, . Т.о. .

Аналогично, доказывается равенство .

■

Задача 34.5. Вычислить .

Решение. Имеем .

Т.к. последнее равенство имеет место для любой основной функции , то мы приходим к формуле

. (34.2)

Полагая , получаем

. (34.3)

В частности

. (34.4)