Фундаментальное решение для обыкновенного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное ОДУ с постоянными коэффициентами. Пусть дифференциальный оператор имеет вид:

. (40.1)

Рассмотрим вспомогательную задачу Коши

(40.2)

Из курса ОДУ нам известно, что задача (40.2) имеет единственное решение. Пусть − решение этой задачи.

Теорема 40.1. Функция , где и − решение задачи (40.2), есть фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора .

Доказательство. Нам известно, что . Согласно примеру 25.10, если функция непрерывно дифференцируема везде, кроме одной точки и в этой точке испытывает скачок , то ее обобщенная производная может быть записана в виде , где − обычная производная, которая существует всюду, кроме точки . Обозначим . Имеем

.

.

Выпишем следующую последовательность равенств:

, умножим обе части равенства на ;

, умножим на ;

, умножим на ;

…

, умножим на ;

, умножим на ;

, так как .

Сложим отдельно левые и правые части этих равенств и приравняем их друг к другу: .

Т.к. − решение задачи (40.2), то . Тогда и, следовательно, - фундаментальное решение. ■

Пример 40.2. Рассмотрим оператор

, (40.3)

т.е. . Найдем фундаментальное решение этого оператора.

Составим задачу (40.2):

(40.4)

Ее решением будет функция . Следовательно, фундаментальным решением оператора (40.3) является функция .

Пример 40.3. Рассмотрим оператор

. (40.5)

т.е. . Найдем фундаментальное решение этого оператора.

Составим задачу (40.2):

(40.6)

Ее решением будет функция . Следовательно, фундаментальным решением оператора (40.5) является функция .