Фундаментальное решение

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор общего вида:

, (39.1)

где − достаточно хорошие (например, гладкие) функции в заданной области .

Определение 39.1. Классическим решением дифференциального уравнения вида

, (39.2)

в области будем называть такую функцию , которая при подстановке ее в это уравнение превращает его в тождество.

Определение 39.2. Назовем обобщенную функцию обобщенным решением уравнения (39.2), если

, (39.3)

для всякой основной функции .

В определении 39.1 правая часть, т.е. функция должна быть обычной функцией, а во втором случае, т.е. в определении 39.2 можно считать, что - обобщенная функция.

Выясним теперь, какая есть связь между этими двумя понятиями.

Теорема 39.3. Пусть коэффициенты и правая часть являются непрерывными функциями. Если − классическое решение уравнения (39.2), то оно будет также его обобщенным решением. Доказательство. Пусть − классическое решение уравнения (39.2). Тогда должно быть раз непрерывно дифференцируемой функцией в области . Таким образом, и . Вне области функции и положим равными нулю. Тогда равенство есть равенство двух локально интегрируемых функций, следовательно, они совпадают как (регулярные) обобщенные функции, т.е. , .■

Следующая теорема показывает, что верно и обратное утверждение к теореме 39.3.

Теорема 39.4. Пусть функция , , причем − обобщенное решение уравнения (39.2). Тогда − классические решение уравнения этого уравнения.

Доказательство. По условию , , или, эквивалентно, , . Следовательно, мы имеем равенство в смысле обобщенной функции (как функционал). По условию теоремы функция локально интегрируема, следовательно, по лемме Дю Буа-Реймона можно утверждать, что она равна нулю почти всюду, а так как она непрерывна, то и просто всюду равна нулю. ■

Предположим теперь, что коэффициенты являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Тогда

.

Следовательно, оператор

(39.4)

можно рассматривать как сопряженный к оператору к . Если (константа), то (34.3) примет вид:

(39.5).Последнюю формулу мы будем записать сокращено:

, (39.6)

где .

Определение 39.5. Назовем обобщенную функцию фундаментальным решение для оператора , если .

Замечание 39.6. Фундаментальное решение не единственно, а именно, если взять такое, что , то также будет фундаментальным решением.

Теорема 39.7. Пусть для обобщенной функции существует свертка . Тогда уравнение имеет единственное решение в , которое можно записать в виде

(39.7).

Доказательство. Имеем

,

т.е. формула (39.7) действительно определяет решение. Предположим, что и − решения заданного уравнения и принадлежат они пространству . Рассмотрим обобщенную функцию . Тогда . Отсюда

, следовательно, , что доказывает единственность. ■

Следующая теорема описывает способ нахождения фундаментального решения.

Теорема 39.8. Пусть . Функция − фундаментальное решение для оператора тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению:

, (39.8)

где

. (39.9)