Фундаментальное решение для волнового уравнения

В отличие от предыдущего случая, для волнового уравнения вид формулы для фундаментального решения зависит от − числа координат текущей точки . В частности, запись означает, что мы рассматриваем фундаментальное решение волнового уравнения для случая . По определению,

. (42.1)

Применим к обеим частям (42.1) преобразование Фурье по переменой . Обозначим

. (42.2)

Аналогично рассуждениям предыдущего параграфа получаем

. (42.3)

Следовательно, функция является по переменной фундаментальным решением обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Именно такое уравнение мы рассмотрели в примере 40.3 и выяснили, что

. (42.4)

Применим обратное преобразование Фурье.

Случай 1. . Заметим, что

.

Если сравнить правую часть последней формулы с формулой (42.4) и применить обратное преобразование Фурье, то мы увидим, что

(42.5)

Случай 2. . Мы докажем, что верна формула

(42.6)

Здесь

и − потенциал простого слоя. Применим к последней обобщенной функции преобразование Фурье (только по пространственным переменным):

Остается применить к обеим частям последнего равенства обратное преобразование Фурье, чтобы получить формулу (42.6).