Свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности

Напомним (см. теорему 41.1), что в этом случае фундаментальное решение имеет вид

(45.1)

Изучим свойства этой функции.

Теорема 45.1. Функция является локально интегрируемой функцией, которая бесконечно дифференцируема всюду при .

Доказательство. Бесконечная дифференцируемость при очевидна. Также очевидна интегрируемость этой функции на любом компакте, не содержащем точки 0. Остается показать ее интегрируемость на компактах, содержащих точку 0.

Функция имеет предел 0 при и 1 при . Во всех промежуточных точках она бесконечно дифференцируема. Ее примерный график выглядит следующим образом:

В частности, любая ее производная в нуле равна 0, следовательно, она стремится к 0 быстрее, чем для любого . Отсюда следует, что для каждого существует константа такая, что

(45.2)

Воспользуемся этим неравенством:

. (45.3)

Выберем число так, чтобы

. (45.4)

Из левой части неравенства следует, что , следовательно, , причем . Из правой части неравенства (45.4) вытекает, что , поэтому , где . Следовательно, неравенство (45.3) можно переписать в виде

Пусть теперь − компакт, содержащий точки , у которых или . Можно считать, что (заметим, что наличие множителя в формуле (45.1) означает, что функция равна 0 при ). Следовательно,

,

Что и требовалось доказать.

Теорема 45.2. при .

Доказательство. Пусть . Тогда

. ■

Теорема 45.3. в пространстве обобщенных функций при .

Доказательство. По теореме 45.1 функция является локально интегрируемой, поэтому

.

Ввиду теоремы 45.2 нам достаточно показать, что при . Функций является финитной, следовательно, ее носитель содержится в некотором шаре . Из теоремы о среднем следует, что

,

где . Следовательно,

для некоторой константы . Имеем

.

Далее ограничимся рассмотрением случая . Перейдем к полярным координатам

Тогда

при . ■