![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Допустим, что функция локально интегрируема и интеграл
сходится и является локально интегрируемой функцией по переменной
. Тогда новая функция
может быть рассмотрена как регулярная обобщенная функция. Таким образом, мы совершили переход от обобщенной функции
, определенной на пространстве
, к обобщенной функции
, действующей на пространстве
. Опишем теперь способ распространения этой операции на более широкий класс обобщенных функций.
Предположим, что − обобщенная функция, для которой существует предел
(43.1)
для любой последовательности основных функций таких, что
. Здесь
− произвольная пробная функция. Ясно, что
при
по крайней мере поточечно. По теореме о полноте пространства обобщенных функций мы заключаем, формула (43.1) определяет обобщенную функцию, принадлежащую пространству
. Эту новую обобщенную функцию обозначим
. Таким образом,
. (43.2)
Будем говорить, что новая обобщенная функций получена из обобщенной функцией
методом спуска по переменной
(или обобщенным интегрированием по переменной
). Фактически, в этом случае мы видим, что функционал
допускает продолжение на функции вида
, где
, т.е. помимо записи (43.2) мы вправе использовать также следующую:
. (43.3)
Теорема 43.1. Пусть − локально интегрируемая функция, причем пусть
сходится и также является локально интегрируемой функцией по переменной
. Тогда функция
также является локально интегрируемой.
Доказательство. Имеем
(по теореме Лебега можно внести предел под знак интеграла)
.
■
Теорема 43.2. Пусть , где
. Тогда
.
Доказательство.
.
■
Теорема 43.3. Пусть − решение задачи
. (43.4)
Предположим, что допускает спуск по переменной
. Тогда
− решение уравнения
, (43.5)
где получено из выражения
«занулением» всех членов, в которые входят производные по переменной
.
Доказательство. Зафиксируем последовательность . Заметим, что
для
. Тогда
для всех
и
. Следовательно, последовательность
можно вставлять вместо функции
в формулах (43.1) или (43.2). Поэтому получаем
для всех
. Отсюда
.
■
Следствие 43.4. Пусть − фундаментальное решение оператора
и существует
, т.е.
допускает спуск по переменной
. Тогда
− фундаментальное решение оператора
. ■
В частности, если − локально интегрируемая функция, для которой
также является локально интегрируемой функцией, то функция
есть фундаментальное решение оператора
.
Задача 43.5. Найдем фундаментальное решение волнового уравнения для .
Решение. Воспользуемся методом спуска. Для этого рассмотрим ,
. Проведем спуск по переменной
. Заметим, что
− сингулярная обобщенная функция. Имеем
.
Воспользуемся теоремой о предельном переходе под знаком интеграла:
.
Напомним, что − сфера радиуса
. Далее
.
Итак, мы приходим к формуле:
. (43.6)
Задача 43.6. Вывести формулу фундаментального решения волнового оператора для методом спуска.
Решение. Так как − локально интегрируема, то согласно следствия 43.4
Так как
, то мы приходим к уже известной нам формуле (см. формулу (43.5)):
− вместо мы записали просто
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 375 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!