Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ^∞/_∞, которые называют основными. Неопределенности вида 0•∞,∞-∞, 1 ^∞, ∞ ⁰, 0° сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1. Пусть ƒ(х)→0, φ(х)→ ∞ при х→х₀. Тогда очевидны следующие преобразования:

Например,

2. Пусть ƒ(х)→ ∞, φ(х)→ ∞ при х→х₀. Тогда можно поступить так:

На практике бывает проще, например,

3. Пусть или ƒ(х)→1 и φ(х)→ ∞, или ƒ(х)→ ∞ и φ(x)→0, или ƒ(х)→0 и φ(х)→0 при х→х₀. Для нахождения предела вида limƒ(х)^φ(х) при х →х₀ удобно сначала прологарифмировать выражение А=ƒ(х)^φ(х).

<< Пример 25.5

Найти

Решение: Имеем неопределенность вида 1 ^∞. Логарифмируем выражение , получим: Затем находим предел:

т. е. .

Отсюда

Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой

(использовано основное логарифмическое тождество: ƒ^φ=e^lnƒφ).

<< Пример 25.6

Найти

Решение:

<< Пример 25.7

Пусть

Найти ƒ'(х). (Дополнительно: найти ƒ⁽ⁿ⁾(0).)

Решение: При х ≠ 0 имеем

При х=0 по определению производной:

Делаем замену у=1/ ² - и применяем правило Лопиталя

Таким образом,

Аналогично можнопоказать, что ƒ⁽ⁿ⁾(0)=0.