Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Пусть функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b]

Пусть функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x₀ отрезка [а;b], либо на границе отрезка, т. е. при х₀=а или х₀=b. Если х₀є(а;b), то точку х₀ следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

1) найти критические точки функции на интервале (а;b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х=а и х=b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 ƒ(х₀)=ƒ_нб=ƒ_мах (нб — наибольшее, max — максимальное).

2. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) — на другом.

<< Пример 25.10

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=3х⁴+4х³+1 на отрезке [-2;1].

Решение: Находим критические точки данной функции: ƒ'(х)=12х³+12х²=12х²(х+1);

ƒ'(х)=0 при x₁=0є[-2;1] и при х₂=-1є[-2;1]. Находим ƒ(0)=1, ƒ(-1)=3-4+1=0, ƒ(-2)=48-32+1=17, ƒ(1)=8. Итак, ƒ_нб=17 в точке х=-2, ƒ_нм=0 в точке х=-1.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу.

<< Пример 25.11

Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, , а потому объем цилиндра

где хє[0;2R].

Находим наибольшее значение функции V=V(x) на промежутке [0;2π]. Так как V'(x)=πR²-3/4πх², то V'(x)=0 при , кроме того, V"(x)=-3/4πх<0. Поэтому — точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный V_max) при диаметр основания цилиндра равен

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную , и диаметр, равный