Максимум и минимум функций

Точка х₀ называется точкой максимума функции у=ƒ(х), если существует такая  -окрестность точки х₀, что для всех х≠х₀ из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х)<ƒ(х₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: x₀ — точка минимума функции, если  >0  х: 0<|x-x₀|<  ƒ(х)>ƒ(х₀). На рисунке 146 х₁ — точка минимума, а точка х₂ — точка максимума функции у=ƒ(х).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х₀)=0.

Пусть, для определенности, x₀ — точка максимума. Значит, в окрестности точки х₀ выполняется неравенство ƒ(х₀)>ƒ(х₀+∆х). Но тогда

,

если ∆х>0, и ∆у/∆х>0, если ∆х<0.

По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при ∆х→0, получим ƒ'(x₀)≥0, если ∆х<0, и f'(х₀)≤0, если ∆х>0. Поэтому ƒ'(х₀)=0. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если х₀ — точка минимума функции ƒ(х).

Геометрически равенство ƒ'(х₀)=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у=ƒ(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если ƒ'(х₀)=0, то это не значит, что х₀-

точка экстремума. Например, для функции у=х³ ее производная у'=3х² равна нулю при х=0, но х=0 не точка экстремума (см. рис. 148).

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у=׀ х׀ в точке х=0 производной не имеет, но точка х=0 — точка минимума (см. рис. 149).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются кри тическими.

Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой  -окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ — точка минимума.

▲Рассмотрим  -окрестность точки х₀. Пусть выполняются условия: ƒ'(х)>0  xє(х₀-;х₀) и ƒ'(х)<0  xє(х₀;х₀+). Тогда функция ƒ(х) возрастает на интервале (х₀-δ; х₀), а на интервале (х₀; х₀+) она убывает. Отсюда следует, что значение ƒ (х) в точке x₀ является наибольшим на интервале (х₀-δ;х₀+δ), т. е. ƒ(х)<ƒ(х₀) для всех хє(х₀-;x₀)U(x₀;x₀+). Это и означает, что х₀ — точка максимума функции.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 представлена на рисунке 150.

Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда ƒ'(х)<0  xє(х₀-;х₀) и ƒ'(х)>0  xє(х₀;х₀+).▼

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1) найти критические точки функции у=ƒ(х);

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной ƒ'(х) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

<< Пример 25.9

Найти экстремум функции

Решение: Очевидно, D(y)=R Находим

т. е.

Производная не существует при x₁=0 и равна нулю при х₂=8. Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала (—∞;0), (0;8), (8; ∞). Отметим на рисунке 151 знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.

Следовательно, x₁=0 — точка максимума, у_мах=у(0)=0, и х₂=8 — точка минимума, y_min=у(8)=-4/3.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема. Если в точке х₀ первая производная функции ƒ(х) равна нулю (ƒ'(х₀)=0), а вторая производная в точке х₀ существует и отлична от нуля (ƒ"(х₀) 0), то при ƒ"(х₀)<0 в точке х₀ функция имеет максимум и минимум — при ƒ"(х₀)>0.

▲Пусть для определенности ƒ"(х₀)>0. Так как

то в достаточно малой окрестности точки х₀. Если ∆х<0,

то ƒ'(х₀+∆х)<0; если ∆х>0, то ƒ'(х₀+∆х)>0.

Таким образом, при переходе через точку x₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, х₀ есть точка минимума.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х₀)<0, то в точке х₀ функция имеет максимум.▼