Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у=ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0  xє(а;b) — график выпуклый вниз.

▲Пусть ƒ"(х)<0  xє(а;b). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой х₀є(а;b) и проведем через М касательную (см. рис. 155).

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке хє(а; b) ординату у кривой у=ƒ(х) с ординатой у_кас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

У_кас-ƒ(х₀)=ƒ'(х₀)(х-х₀), т.е. У_кас=ƒ(х₀)+f(x₀)(x-х₀).

Тогда у-у_кас=ƒ(х)-ƒ(х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀). По теореме Лагранжа, ƒ(х)-ƒ(х₀)=ƒ'(с)(х-x₀), где с лежит между х₀ и х. Поэтому

У-У_кас=ƒ'(с)(х-х₀)-ƒ'(х₀)(х-х₀),

т. е.

У-У_кас=(ƒ'(с)-ƒ'(х₀))(х-х₀).

Разность ƒ'(с)-ƒ'(х₀) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

ƒ'(с)-ƒ'(х₀)=ƒ"(с₁)(с-х₀),

где с₁ лежит между х₀ и с. Таким образом, получаем

У-У_кас=f"(c₁)(c-х₀)(х-х₀).

Исследуем это равенство:

1) если х>х₀, то х-х₀>0, с-х₀>0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:

2) если х<х₀, то х-х₀<0, с-х₀<0 и f"(c₁)<0. Следовательно, У-У_кас<0, т. е. у<у_кас:

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при ƒ"(х)>0 график выпуклый вниз. ▼

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Пусть ƒ"(х)<0 при х<х₀ и ƒ"(х)>0 при х>х₀. Это значит, что слева от х=х₀ график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (х₀;ƒ(х₀)) графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х)>0 при х<x₀ и ƒ"(х)<0 при х>х₀, то точка (х₀;ƒ(х₀)) — точка перегиба графика функции у=ƒ(х).

<< Пример 25.12

Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у=х⁵-х+5.

Решение: Находим, что у'=5х⁴-1, у"=20х³. Вторая производная существует на всей числовой оси; у"=0 при х=0.

Отмечаем, что у">0 при х>0; у"<0 при х<0.

Следовательно, график функции у=х⁵-х+5 в интервале (- ∞;0) — выпуклый вверх, в интервале (0; ∞) — выпуклый вниз. Точка (0;5) есть точка перегиба.