Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Односторонние пределы. В определении предела функции считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0)



В определении предела функции считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке хо, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ;xo), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х0-0 или коротко: ƒ(хо-0)=А1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ(хо+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А12.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х0-0) и ƒ(х0+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х0-0).

Если же А1А2, то етот придел не существует.

Предел функции при х  ∞

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для ε>0  М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).

Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х0, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х—>2.

Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→хо и принимает лишь положительные значения, то пишут

если лишь отрицательные значения, то

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность vn=n2+1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки хо является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)

Однако, если limƒ(х)=А при х→x0, где А — конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки хо.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (хо-ε; хо+ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 305 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...