![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 и обращаются в нуль в этой точке: ƒ(х0)=φ(х0)=0. Пусть φ'(х) 0 в окрестности точки х0. Если существует предел
▲Применим к функциям ƒ(х) и φ(х) теорему Коши для отрезка [х0;х], лежащего в окрестности точки x0. Тогда
где с лежит между х0 и х (рис. 144). Учитывая, что ƒ(х0)=φ(х0)=0, получаем
При х→х0, величина с также стремится к х0; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:
Так как
Поэтому
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания:
1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции ƒ(х) и φ(х) не определены при х=х0, но
Достаточно положить
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х→∞. Действительно, положив х=1/z, получим
3. Если производные ƒ'(х) и φ'(х) удовлетворяют тем же условиям, что и функции ƒ(х) и φ(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:
и т. д.
<< Пример 25.2
Найти
Решение:
<< Пример 25.3
Найти
Решение:
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида 0/0. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида ∞/∞.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 329 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!