Линейные многошаговые методы для задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. Максимальный порядок аппроксимации m-шагового метода. Методы Адамса и Гира. Условие корней

В одношаговых методах поиск значения зависит только от информации в предыдущем узле x_i. Представляется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о значении функции в нескольких предыдущих узлах, т.е .

Так поступают в методах, называемых многошаговыми.

Имеем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

(1)

(2)

Будем решать задачу (1)-(2) конечноразностными многошаговыми методами.

Для этого введем равномерную сетку с постоянным шагом h>0. Введем сеточную функцию и функцию правой части .

Линейным m-шаговым разностным методом называется система разностных уравнений

(3)

- числовые коэффициенты, не зависящие от номера узла i, параметр j=0,1,2,…,m, причем .

Из этого уравнения (3) мы можем выразить значение сеточной функции через ранее найденные значения. Расчет начинается с узла с номером m (i=m), т.е. c уравнения

(4)

Следовательно, для начала расчетов необходимо знать m значений сеточной функции в узлах .

Значение определяется исходной задачей Коши – условием (2), т.е

.

Значения можно вычислить любым одношаговым методом, например методом Рунге-Кутта нужного порядка точности. Поэтому в дальнейшем можно полагать, что все необходимые значения

известны.

Из уравнения (3) видно, что в отличие от методов Рунге-Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисления правых частей только в узлах основной сетки . Многошаговые методы можно разделить на явные и неявные.

Метод (3) называется явным, если коэффициент в правой части .

(5)

Схема (5) иначе называется экстраполяционной. Искомое значение сеточной функции

(6)

в этом случае выражается явным образом через m предыдущих значений.

Если коэффициент , то метод называется неявным или интерполяционным. Тогда для нахождения значения сеточной функции необходимо решить нелинейное уравнение вида

(7)

Где

Обычно это уравнение (7) решают методом Ньютона, выбирая начальное приближение.

В практике наибольшее распространение получили многошаговые методы Адамса и методы Гира, которые являются частным случаем многошаговых методов. В методах Адамса первая производная искомой функции u(x) задачи Коши аппроксимируется только по двум узлам и (т.е коэффициенты

). В методах Гира первая производная аппроксимируется по m+1 узлу а коэффициенты

Т.к коэффициенты в РС определены с точностью до постоянного множителя то для устранения произвола обычно полагается .

Выясним влияние на порядок аппроксимации схемы. Для этого оценим разность левой и правой частей на точном решении u(t). Разлагая в ряд Тейлора u(x) в x_i легко получить

Тогда погрешность аппроксимации равная разности левой и правой частей схемы будет иметь вид:

Применяем порядок суммирования и после преобразований получаем:

Порядок аппроксимации m-шагового метода

неявного <= 2m

явного <=2m-1

неявного Адамса <=m+1

явного Адамса <=m

Гира <=m

ВОПРОС 19 (2)