Структура общего решения неоднородной линейной системы

Пусть - частное решение неоднородное решение неоднородной системы уравнений (2), а - фундаментальная система решений однородной системы уравнений (3). Тогда формула

, (16)

где - произвольные постоянные, дает общее решение неоднородной системы уравнений (2).

Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение

(5)

.

Для простого корня находим собственный вектор , решая систему

находим . Значит собственный вектор есть , и - частное решение исходной системы.

Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При из (5) получаем матрицу

.

Ее порядок n=3, а ранг r=2. число линейно независимых собственных векторов равно . Корень имеет кратность k=2. Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде

(6)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...., подставляем (6) в исходную систему и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему

Общее решение этой системы есть Таким образом, все неизвестные выражены через c и d. Положив , имеем

Подставив найденные значения a,b,... в (6), и прибавив частное решение, умноженное на , получим общее решение исходной системы:

.