ВОПРОС 28 (1)

Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа (без вывода). Характер распространения волн.

Постановка задачи Коши:

Если в исходной задаче волновое уравнение неоднородно, то решается задача:

Тогда решение задачи Коши данного уравнения определяется формулой Даламбера:

Формула Кирхгофа используется для решения волнового уравнения в трёхмерном пространстве:

Где – площадь поверхности единичной сферы, – шар.

Формула Пуассона задаёт решение задачи Коши в плоскости:

Где – круг в плоскости

Характер распространения волн

Пусть имеется источник обращающийся в ноль при . Решение обобщенной задачи представляется в виде волнового потенциала с плотностью

где – фундаментальное решение(функция влияния). Физически это означает, что возмущение, т.е. искомое решение в точке в момент представляет суперпозицию (сумму) элементарных возмущений порожденных точечными источниками когда точки пробегают множество, где сосредоточено возмущение . Это принцип наложения волн.

Определение. Пусть . Носителем непрерывной функции называется замыкание множества тех точек, где Обозначим носитель т.е.

Результирующее возмущение от источника , сосредоточенного в множестве ( содержит ) может достичь лишь тех точек полупространства , которые состоят из объединения носителей когда точки пробегают множество . Это полученное множество называется областью влияния множества .

Вне будет покой.

Конкретный вид области влияния зависит от структуры носителя фундаментального решения . А вид зависит от размерности пространства , что приводит к своим особенностям в характере распространения волн в пространствах различной размерности.

Заметим, что этот факт отражён в формулах Кирхгофа, Даламбера, Пуассона.

Возмущения распространяются вдоль характеристик. Для волнового уравнения уравнение характеристической поверхности в имеет вид

Решением является характеристический конус(гиперконус) с вершиной в точке

Это и есть характеристическая поверхность волнового уравнения (кроме особой точки )

При этот характеристический конус переходит в два семейства прямых

А если положить , то получаем сферу

В мерном случае характеристический конус – это граница двух конусов

Г^-(x₀,t₀) = { -а(t-t₀) > |x-x₀|},

Которые называются соответственно конусы будущего и прошлого

Решение в точке зависит только от возмущений в точках поверхности конуса и влияет на решение в точках только на поверхности .