ВОПРОС 30 (1)

Пример использования метода Фурье.

// АХАХА, ХЕР ТОБИ, Я НИЧЕГО НЕ СДЕЛАЛ!!!!1

// ладно, шучу:3

Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от , а в правой — только от , то, фиксируя любое значение в правой части, получаем, что для любого значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:

откуда (, так как в противном случае мы имели бы решение , а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма-Лиувилля:

Её решение сводится к решению линейного диф. уравнения и рассмотрению трёх случаев:

1. 

В этом случае общий вид решения будет следующим:

Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет , а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.

1. 

Общий вид решения

Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.

1. 

Общий вид решения

Подставим граничные условия:

Так как мы ищем только нетривиальные решения, нам не подходит, следовательно

Отсюда

C учетом найденных , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения

Должен получиться ответ

Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:

В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.

Осталось определить значение константы (зависящей от ) из начального условия

Для того, чтобы определить значение , необходимо разложить функцию в ряд Фурье:

Получаем:

Откуда общее решение: