Классификация квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка в пространстве

Пусть имеется уравнение с частными производными второго порядка линейное относительно старших производных следующего общего вида:

(2.1)

Где вектор переменных, функция, зависящая от , искомой функции и её первых производных . В линейном случае уравнение имеет вид:

(2.2)

Выясним как преобразуются коэффициенты уравнения при произвольной не особой замене независимых переменных

(2.3)

Тогда по теореме об обратном преобразовании в некоторой окрестности можно выразить через . Обозначим Выразим производные, входящие в (2.1) через переменные :

Подставим в (2.1) и получим

Или переобозначая через новую функцию имеем

(2.4)

Где новые коэффициенты

(2.5)

Фиксируем точку , в которой проводится преобразование, и обозначим

Тогда преобразование (2.3) будет линейным и его можно записать в виде

А формулу (2.5) для новых коэффициентов при вторых производных в виде

Или в матричном виде

(2.6)

Сделаем небольшое отступление и рассмотрим квадратичную форму с такими же коэффициентами, что и в уравнении (2.1) при вторых производных

(2.7)

Или в матричном виде

При неособой замене

(2.8)

Квадратичная форма (2.7) преобразуется следующим образом:

(2.9)

Где новая матрица коэффициентов имеет вид:

Таким образом (2.6) и (2.1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между коэффициетами преобразованного уравнения в частных производных второго порядка (2.4) в точке х₀ и коэффициентами преобразованноц формы (2.7). Т.е. если провести преобразование (2.6) с матрицей

То коэффициенты при вторых производных в полученном уравнении будут такие же как и в квадратиченой форме после линейной замены (2.8).

Из курса линейной алгебры известна следующая теорема: Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет каконический вид

Т.е. матрица коэффициентов квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид:

Итак, если привести квадратичную форму(2.7) к каноническому виду

(2.11)

То линейная замена независимых переменных

Приведет (2.1) к виду

(2.12)

Используя числа можно провести классификацию уравнений второго порядка, которая в общем случае зависит от точки .

Классификация уравнения (2.1)

1. Если и все слагаемые одного знака(т.е. либо , либо ), то уравнение эллиптического типа.

2. Если , но есть одно слагаемое с отличным от остальных знаком, то уравнение гиперболического типа. (т.е. или ), если – ультрагиперболического типа.

3. Если - параболическое в широком смысле. Если и или – нормально-параболического типа (или просто параболическое), т.е. если только один из коэффициентов равен .

Пример:

Волновое уравнение и его частные случаи гиперболическое в каждой точке , так как . Уравнение теплопроводности параболическое.

Могут быть случаи, когда уравнение имеет смешанный тип. Например, уравнение Трикоми:

При уравнение гиперболическое, на линии – параболическое, –эллиптическое