Свойства. и частные производные

• Комплексная функция является голоморфной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши — Римана

и частные производные непрерывны.

• Сумма и произведение голоморфных функций — голоморфная функция, что следует из линейности дифференцирования и выполнения правила Лейбница. Частное голоморфных функций также голоморфно во всех точках, где знаменатель не обращается в 0.
• Производная голоморфной функции опять является голоморфной, поэтому голоморфные функции являются бесконечно дифференцируемыми в своей области определения.
• Голоморфные функции являются аналитическими, то есть могут быть представлены в виде сходящегося в некоторой окрестности каждой точки рядаТейлора. Таким образом, для комплексных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают.
• Из любой голоморфной функции можно выделить её вещественную и мнимую часть, каждая из которых будет решением уравнения Лапласа в . То есть если — голоморфная функция, то и — гармонические функции.
• Если абсолютнаявеличина голоморфной функции достигает локального максимума во внутренней точке своей области определения, то функция постоянна (предполагается, что область определения связна). Отсюда следует, что максимум и минимум абсолютной величины голоморфной функции могут достигаться лишь на границе области.