Голоморфные функции. Условия Коши-Римана. Элементарные функции

Голоморфная функция,— функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и комплексно дифференцируемая в каждой точке.В отличие от вещественного случая, это условие влечёт, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора.

Для комплекснозначных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают.

определение

Пусть — открытое подмножество в и — комплекснозначная функция на .

• Функцию называют комплексно дифференцируемой в точке , если существует предел

В этом выражении предел берется по всем последовательностям комплексных чисел, сходящихся к , для всех таких последовательностей выражение должно сходиться к одному и тому же числу . Комплексное дифференцирование линейно и удовлетворяет тождеству Лейбница

• Функцию называют голоморфной в , если она комплексно дифференцируема в каждой точке .
• Функцию называют голоморфной в , если она голоморфна в некоторой окрестности .